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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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5. Hallar la función ff tal que
a) f′(x)=4x3+6x+2x4+3x2+2x+1f'(x)=\frac{4 x^{3}+6 x+2}{x^{4}+3 x^{2}+2 x+1} y f(0)=5f(0)=5

Respuesta

Tenemos que encontrar la función f(x) f(x) que cumpla la condición inicial f(0)=5 f(0) = 5 .


Fijate que el numerador es la derivada del denominador. Por lo tanto, una gran elección para la sustitución sería:
u=x4+3x2+2x+1 u = x^4 + 3x^2 + 2x + 1
dudx=4x3+6x+2 \frac{du}{dx} = 4x^3 + 6x + 2
du=(4x3+6x+2) dx du = (4x^3 + 6x + 2) \, dx Ahora sustituimos en la integral:

∫4x3+6x+2x4+3x2+2x+1 dx=∫duu \int \frac{4x^3 + 6x + 2}{x^4 + 3x^2 + 2x + 1} \, dx = \int \frac{du}{u}
La integral de 1u\frac{1}{u} es:
∫1u du=ln⁡∣u∣+C \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C
Sustituimos u u de nuevo en términos de x x :
ln⁡∣u∣+C=ln⁡∣x4+3x2+2x+1∣+C \ln |u| + C = \ln |x^4 + 3x^2 + 2x + 1| + C
Y ahora vamos a usar el dato f(0)=5 f(0) = 5 :  f(0)=ln⁡∣04+3⋅02+2⋅0+1∣+C=ln⁡∣1∣+C=0+C=5 f(0) = \ln |0^4 + 3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 + 1| + C = \ln |1| + C = 0 + C = 5
Por lo tanto, C=5 C = 5 .
Nos queda:
f(x)=ln⁡∣x4+3x2+2x+1∣+5 f(x) = \ln |x^4 + 3x^2 + 2x + 1| + 5
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